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整除性

一個整(zheng)數能被另一個整(zheng)數整(zheng)除，記為 d|ad|a，意味著對某個整(zheng)數 k，有a=kda=kd。

余(yu)數以及模運算

除法定理： 

對(dui)任(ren)(ren)意整(zheng)數(shu)a和任(ren)(ren)意正整(zheng)數(shu)n，存在唯一的(de)整(zheng)數(shu)q和r，滿(man)(man)足0<=r<n，并且a=qn+r。對(dui)任(ren)(ren)意整(zheng)數(shu)a和任(ren)(ren)意正整(zheng)數(shu)n，存在唯一的(de)整(zheng)數(shu)q和r，滿(man)(man)足0<=r<n，并且a=qn+r。 

取(qu)模運(yun)算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余數。

比如給(gei)定(ding)(ding)一(yi)個正整(zheng)(zheng)數p，任意(yi)一(yi)個整(zheng)(zheng)數n，一(yi)定(ding)(ding)存在等(deng)式 ：n = kp + r ；其中 k、r 是整(zheng)(zheng)數，且 0 ≤ r < p，則稱 k 為(wei) n 除(chu)以 p 的商，r 為(wei) n 除(chu)以 p 的余數。

取模運算的規則如下：

公約數性質

對任意整數 x 和 y，有： 

d|a并(bing)且d|b，則(ze)(ze)d|(ax+by)d|a并(bing)且d|b，則(ze)(ze)d|(ax+by) 

定義兩個不同(tong)時為(wei)(wei) 0 的整數(shu)(shu) a 與 b 的最大公約(yue)數(shu)(shu)表示(shi)為(wei)(wei) gcd(a,b)gcd(a,b)，如果 a 和 b 都不為(wei)(wei) 0，則 gcd(a,b)gcd(a,b) 為(wei)(wei)一個在 1 和 min(|a|,|b|)min(|a|,|b|) 之(zhi)間的整數(shu)(shu)。定義 gcd(0,0)=0gcd(0,0)=0。其(qi)基本性質有如下幾條(tiao)：

給出(chu)如(ru)下(xia)定理： 

如(ru)果a和(he)b是(shi)不(bu)都為(wei)0的(de)(de)任意整(zheng)數，則gcd(a,b)是(shi)a與b的(de)(de)線性組合{ax+by:x，y均(jun)屬于整(zheng)數}中的(de)(de)最(zui)小元(yuan)素(su)。如(ru)果a和(he)b是(shi)不(bu)都為(wei)0的(de)(de)任意整(zheng)數，則gcd(a,b)是(shi)a與b的(de)(de)線性組合{ax+by:x，y均(jun)屬于整(zheng)數}中的(de)(de)最(zui)小元(yuan)素(su)。 

歐幾里得算法

GCD遞歸定理

對于任意非負整(zheng)數 a 和任意正整(zheng)數 b，有 

C語(yu)言實現歐(ou)幾里得算法:

歐幾里(li)得算法的(de)擴展形式

推廣歐幾里得(de)算法以使(shi)其可(ke)以計算出相(xiang)應的(de)整系數 x，y。