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淺談浮點數

浮(fu)點型變量在計(ji)算(suan)機內存中占用4字(zi)節(jie)（Byte）,即(ji)32-bit。遵循IEEE-754格(ge)式標準。

一個(ge)浮點(dian)數(shu)由2部分組成：底數(shu)m 和 指數(shu)e。

±mantissa × 2exponent（注意，公式中的mantissa 和 exponent使用二進制表示）

底數部分　使用２進制數來表示此浮點數的(de)實際值。

指數(shu)(shu)(shu)部分　占(zhan)用８-bit的(de)(de)二進制數(shu)(shu)(shu)，可表示數(shu)(shu)(shu)值(zhi)范圍為0－255。　但是(shi)指數(shu)(shu)(shu)應可正可負(fu)，所以(yi)IEEE規定， 此處(chu)算出的(de)(de)次方須減去127才(cai)是(shi)真正的(de)(de)指數(shu)(shu)(shu)。所以(yi)float的(de)(de)指數(shu)(shu)(shu)可從 -126到128。

底數(shu)部分實際是(shi)占用(yong)24-bit的一(yi)個值，由于其高位始終為(wei) 1 ，所以高位省(sheng)去(qu)不存儲(chu)，在存儲(chu)中只(zhi)有23-bit。

到(dao)目前(qian)為(wei)止， 底數(shu)(shu)部分 23位(wei) 加上指數(shu)(shu)部分 8位(wei) 使用(yong)了31位(wei)。那(nei)么(me)前(qian)面說過，float是占用(yong)4個字節(jie)即(ji) 32-bit，那(nei)么(me)還(huan)有(you)一位(wei)是干嘛(ma)用(yong)的呢？ 還(huan)有(you)一位(wei)，其實(shi)就是4字節(jie)中的高(gao)(gao)位(wei)，用(yong)來指示浮點(dian)數(shu)(shu)的正負，當(dang)高(gao)(gao)位(wei)是1時(shi)，為(wei)負數(shu)(shu)，高(gao)(gao)位(wei)是0時(shi)，為(wei)正數(shu)(shu)。

浮點(dian)數據(ju)就是按下表的(de)格(ge)式存(cun)儲在(zai)4個字節(jie)中：

Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
        Contents SEEE EEEE EMMM MMMM MMMM MMMM MMMM MMMM 
        S: 表示浮點數正負，1為負數，0為正數
        E: 指數加上127后的值的二進制數
        M: 24-bit的底數（只存儲(chu)23-bit）

注意：這里(li)有個(ge)特例，浮點數(shu) 為(wei)(wei)(wei)0時，指數(shu)和底數(shu)都為(wei)(wei)(wei)0，但(dan)此前的公式不(bu)成立。因為(wei)(wei)(wei)2的0次方為(wei)(wei)(wei)1，所以0是(shi)個(ge)特例。當然(ran)，這個(ge)特例也不(bu)用認為(wei)(wei)(wei)去(qu)(qu)干擾，編譯器(qi)會自動去(qu)(qu)識別(bie)。

通過(guo)上面(mian)的(de)格式(shi)，我們下面(mian)舉(ju)例看下-12.5在計算機(ji)中存儲的(de)具體數據(ju)：

Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
        Contents 0xC1 0x48 0x00 0x00

接下(xia)來我們(men)驗證下(xia)上面的數(shu)據(ju)表示的到底是不(bu)是-12.5，從而(er)也看下(xia)它的轉換過程。

由于浮點(dian)數不是(shi)以直(zhi)接格式存(cun)儲，他有幾部分(fen)組成，所(suo)以要轉(zhuan)換浮點(dian)數，首先要把各部分(fen)的(de)值分(fen)離出來。

        Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
                格式 SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM
                二進制 11000001 01001000 00000000 00000000
                16進制 C1 48 00 00
        可見：
                S: 為1，是個負數。
                E:為 10000010 轉為10進制為130，130-127=3，即實際指數部分為3.
                M:為 10010000000000000000000。

這里(li)，在底數左邊省略存(cun)儲了一個1，使用實際底數表示為 1.10010000000000000000000 。

現在，我(wo)們通過指(zhi)數(shu)(shu)(shu)部分(fen)(fen)E的(de)值來調整底數(shu)(shu)(shu)部分(fen)(fen)M的(de)值。調整方法為(wei)(wei)：如果(guo)指(zhi)數(shu)(shu)(shu)E為(wei)(wei)負數(shu)(shu)(shu)，底數(shu)(shu)(shu)的(de)小(xiao)(xiao)數(shu)(shu)(shu)點向(xiang)(xiang)左移，如果(guo)指(zhi)數(shu)(shu)(shu)E為(wei)(wei)正數(shu)(shu)(shu)，底數(shu)(shu)(shu)的(de)小(xiao)(xiao)數(shu)(shu)(shu)點向(xiang)(xiang)右移。小(xiao)(xiao)數(shu)(shu)(shu)點移動的(de)位數(shu)(shu)(shu)由指(zhi)數(shu)(shu)(shu)E的(de)絕對值決定(ding)。

這(zhe)里，E為(wei)正3，使用向(xiang)右移3為(wei)即得：1100.10000000000000000000。

至(zhi)次，這(zhe)個結(jie)果就(jiu)是12.5的二進制(zhi)浮點數，將(jiang)他(ta)換算成10進制(zhi)數就(jiu)看(kan)到12.5了，如(ru)何轉換，看(kan)下面：

小(xiao)數點左邊的(de)1100 表示為 (1 ×; 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (0 × 20), 其結果為 12 。

小數點(dian)右(you)邊的 .100… 表(biao)示為 (1 × 2-1) + (0 × 2-2) + (0 × 2-3) + ... ，其結(jie)果為.5 。

以上(shang)二值的(de)和為12.5， 由于(yu)S 為1，使用為負數，即(ji)-12.5 。

所以，16進制 0XC1480000 是浮點數 -12.5 。

上面是如何(he)將計(ji)算機存儲中的(de)(de)二進制數如何(he)轉(zhuan)換成(cheng)實際浮(fu)點數，下(xia)面看下(xia)如何(he)將一浮(fu)點數裝換成(cheng)計(ji)算機存儲格式中的(de)(de)二進制數。

舉(ju)例將17.625換(huan)算成 float型。

首先，將17.625換(huan)算成(cheng)二進制位(wei)：10001.101 ( 0.625 = 0.5+0.125, 0.5即 1/2, 0.125即 1/8 如果(guo) 不會(hui)將小數(shu)部分轉(zhuan)換(huan)成(cheng)二進制，請(qing)參考其他書籍。) 再將 10001.101 向右(you)移，直到小數(shu)點(dian)前只剩一位(wei) 成(cheng)了(le) 1.0001101 x 2的(de)4次方(fang) （因為右(you)移了(le)4位(wei)）。此時 我們的(de)底(di)數(shu)M和指數(shu)E就(jiu)出(chu)來了(le)：

底數(shu)(shu)部分M，因為小(xiao)數(shu)(shu)點(dian)前(qian)必為1，所(suo)以(yi)(yi)IEEE規定只記錄小(xiao)數(shu)(shu)點(dian)后的就好，所(suo)以(yi)(yi)此處底數(shu)(shu)為 0001101 。

指數部分E，實際為4，但(dan)須加上127，固為131，即二進制數 10000011

符號(hao)部分S，由于(yu)是正(zheng)數(shu)，所(suo)以S為0。

綜上所述，17.625的 float 存儲(chu)格(ge)式就是：0 10000011 00011010000000000000000

轉(zhuan)換成16進制：0x41 8D 00 00

所(suo)以，一看，還是占用了4個字節。

接下來看存儲：

Float數據結構： 
 ;               【S】【30——Exp——23】【22——Frac——0】

Double數據結構： 
                【S】【62——Exp——52】【51——Frac——0】 
        S: Sign bit 符號位 
        Exp: exponent(bias) 指數(偏移) 
        Frac: fraction 有效位數(shu)

Exp在公式中是2的冪(mi)，接近零(ling)的小數(shu)的描述應為(wei)有符號數(shu)，有符號數(shu)的表示可以為(wei)符號位+數(shu)字位、補(bu)數(shu)等(deng)，IEEE754采(cai)用的是偏移法，不作過多(duo)解釋。

對(dui)Float偏移(yi)量(liang)為(wei)0x7F(127)、Double偏移(yi)量(liang)為(wei)0x3FF(1023)。

Frac便是有效位數，

注釋 浮點值 S Exp Frac 數學值 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        零 0x00000000 0 0x00 0B000...000 0.0 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        Min正次正規數 0x00000001 0 0x00 0B000...001 1.40129846e^-45 
        Max正次正規數 0x007FFFFF 0 0x00 0B111...111 1.17549421e^-38 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        Min正正規數 0x00800000 0 0x01 0B000...000 1.17549435e^-38 
        Max正正規數 0x7F7FFFFF 0 0xFE 0B111...111 3.40282347e^+38 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        Not a Number 0xXXXXXXXX x 0xFF 0Bxxx...xxx NaN是一個數族 
        正無限 0x7F800000 0 0xFF 0B000...000 +Inf 
        負無(wu)限 0xFF800000 1 0xFF 0B000...000 -Inf

首先舉例求Float_Max正(zheng)正(zheng)規數：

Exp =0xFE = 254； 
         Frac=(2^23 - 1) 
        代入： 2^127 * (1 + (2^23-1) * 2^-23) 
        = 2^128 - 2^104 
        = 3.4028e+38

其(qi)它的可自己求(qiu)。

所以float 型的冪是38，Double的冪應該是308。